2012年南京市秦淮区中考数学一模参考答案

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

7．x≤1     8．a(a＋1)(a－1)       9． 1           10．0＜y＜2        11．72 

12．(－2,1)      13．          14．5           15．  π          16．88

三、解答题（本大题共12小题，共88分）

17．解：原式＝2－  ………4分           ＝12－………5分     ＝11．……6分

18．解：解不等式①，得x＜1．  解不等式②，得x≥－2． ……………………………………4分

                        所以，不等式组的解集是－2≤x＜1  ．……………………5分

                                不等式组的整数解是－2,－1,0．   …………………………6分

19．解：去分母得：x－11＝2(2x－1)．     …………………………………………………………2分

    去括号，移项得：3x＝－9．        …………………………………………………………4分

    解得：          x＝－3．         …………………………………………………………5分

    经检验，x＝－3是原方程的解，所以x＝－3．  ………………………………………………6分

20．解：这个游戏不公平．

根据题意画树状图如下：       

………………4分

      共有（1,2,1）、（1,2,3）、（1,3,1）、（1,3,3）、（2,2,1）、（2,2,3）、（2,3,1）、（2,3,3）8种等可能结果，

其中6种含有相同数字，因此P_(甲获胜)＝，P_(乙获胜)＝．游戏不公平． ………6分

21．证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABDE是平行四边形．………………………1分

∴AE＝BD． 又∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝DC．

∴AE＝DC．∵AE∥BC，  ∴四边形ADCE是平行四边形．∴AD＝EC．………………3分

（2）∵∠BAC＝90°，DE∥AB，∴∠DOC＝90°，即AC、DE互相垂直．………………5分

  ∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．     ………………………6分

22．解：（1）  ②、③ ；                          ……………………………………………2分

   （2）能．如图，作AD⊥BC，D为垂足．

   在Rt△ABD中，∵sinB＝，cosB＝，    …………4分

   ∴AD＝AB·sinB＝10´0.6＝6， BD＝AB·cosB＝10´0.8＝8．……6分

       ∵BC＝12，∴CD＝BC－BD＝12－8＝4．

∴在Rt△ADC中，有AC＝＝＝2．…………7分

23．解：（1）  ②、③ ；                          ……………………………………………1分       

（2）  60°、30°；  432  ；              ……………………………………………5分

（3）本题答案不唯一，以下答案供参考．城南中学教学效果好，极差、方差小于城北中学，说明城南中学学生两极分化，学生之间的差距较城北中学好．城北中学教学效果好，A、B类的频率和大于城南中学，说明城北中学学生及格率较城南中学学生好．……………7分

24．解：（1）∵点P、Q是二次函数y＝2x²＋bx＋1图象上的两点，∴此抛物线对称轴是直线x＝－1．

∵二次函数的关系式为y＝2x²＋bx＋1，∴有－＝－1．∴b＝4．………………………4分

（2）平移后抛物线的关系式为y＝2x²＋4x＋1＋k．要使平移后图象与x轴无交点，

        则有16－8(1＋k)＜0，k＞1．因为k是正整数，所以k的最小值为2．…………………8分

25．解：由AC＝1.5m，△ABC的面积为1.5m²，得BC＝2m．

如图①，设甲加工的桌面边长为xm，由DE∥CB，得＝，

即＝，解得：x＝（m）．          …………………3分

      如图②，过点C作CE⊥AB，分别交MN、AB于D、E两点，

      由AC＝1.5m，BC＝2，面积为1.5m²，得AB＝2.5，CE＝1.2

      设乙加工的桌面边长为ym，由MN∥AB，得＝，得y＝（m）． ……………7分

      因为x＞y，所以甲同学的方法符合要求．……………8分

26．解：(1)因为货车从A地出发以每小时100km的速度匀速驶往B地，

所以y₁＋100x＝b，代入点（1.8，120），得b＝300km.．

y₁＝－100x＋300…………4分

（2）见右图………………6分

轿车的速度＝150．轿车所用时间为2小时，点P表示货车从A地出发1小时后轿车从B地出发………………9分

27．解：（1）连结AD，OD．

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．………………………1分

∵△ABC是等腰三角形，∴BD＝DC．…………………2分

又∵AO＝BO，∴OD∥AC．    ………………………3分

∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．又∵D是⊙O上的点，

∴DF是⊙O的切线．         ………………………5分

（2）∵AB是⊙O的直径，∴BG⊥AC．

∵△ABC是等边三角形，∴BG是AC的垂直平分线．

∴GA＝GC．………………………7分

又∵AG∥BC，∠ACB＝60°，∴∠CAG＝∠ACB＝60°．

∴△ACG是等边三角形．∴∠AGC＝60°．………………………9分

28．（1）证明：①如图（1），当∠BAC＝90°时，

△EAG≌△BAC（SAS），∴S_△AEG=S_△ABC．   ………………2分      

②如图（2），当∠BAC＜90°时，过C作CM⊥AB，垂足为M，

过G作GN⊥AE，与AE的延长线交于点N．

∵∠GAN+∠NAC=∠GAC=90°，∠MAC+∠NAC=∠MAN=90°，

∴∠GAN=∠MAC，又AC=AG，∠AMC=∠ANG=90°．

∴△AMC≌△ANG，∴GN=CM．

又S_△AEG＝AE·GN，S_△ABC＝AB·CM，    

∴S_△AEG = S_△ABC．           ………………5分

③如图（3），当∠BAC＞90°时，

如图中辅助线，仿照⑵，同理可证．          

综合以上结论可知，命题成立．………………7分

（2）解：∵正方形ABCD、CIHG、GFED的面积分别为9m²、5m²和4m²，

        ∴DC²＝9m²，CG²＝5m²，DG²＝4m²．    ∵DC²＝CG²＋DG²，

∴三角形DCG是直角三角形，∠DGC＝90°．   ∴S_△DCG＝·DG·CG＝´2´＝m．   ∵四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，根据上面结论可得：△ADE、△FGH△、△CBI均与△DCG的面积相等，   ∴六边形ABIHFE的面积为9＋5＋4＋4´＝(18＋4) m². ………………10分

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

7．x≤1     8．a(a＋1)(a－1)       9． 1           10．0＜y＜2        11．72 

12．(－2,1)      13．          14．5           15．  π          16．88

三、解答题（本大题共12小题，共88分）

17．解：原式＝2－  ………4分           ＝12－………5分     ＝11．……6分

18．解：解不等式①，得x＜1．  解不等式②，得x≥－2． ……………………………………4分

                        所以，不等式组的解集是－2≤x＜1  ．……………………5分

                                不等式组的整数解是－2,－1,0．   …………………………6分

19．解：去分母得：x－11＝2(2x－1)．     …………………………………………………………2分

    去括号，移项得：3x＝－9．        …………………………………………………………4分

    解得：          x＝－3．         …………………………………………………………5分

    经检验，x＝－3是原方程的解，所以x＝－3．  ………………………………………………6分

20．解：这个游戏不公平．

根据题意画树状图如下：       

………………4分

      共有（1,2,1）、（1,2,3）、（1,3,1）、（1,3,3）、（2,2,1）、（2,2,3）、（2,3,1）、（2,3,3）8种等可能结果，

其中6种含有相同数字，因此P_(甲获胜)＝，P_(乙获胜)＝．游戏不公平． ………6分

21．证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABDE是平行四边形．………………………1分

∴AE＝BD． 又∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝DC．

∴AE＝DC．∵AE∥BC，  ∴四边形ADCE是平行四边形．∴AD＝EC．………………3分

（2）∵∠BAC＝90°，DE∥AB，∴∠DOC＝90°，即AC、DE互相垂直．………………5分

  ∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．     ………………………6分

22．解：（1）  ②、③ ；                          ……………………………………………2分

   （2）能．如图，作AD⊥BC，D为垂足．

   在Rt△ABD中，∵sinB＝，cosB＝，    …………4分

   ∴AD＝AB·sinB＝10´0.6＝6， BD＝AB·cosB＝10´0.8＝8．……6分

       ∵BC＝12，∴CD＝BC－BD＝12－8＝4．

∴在Rt△ADC中，有AC＝＝＝2．…………7分

23．解：（1）  ②、③ ；                          ……………………………………………1分       

（2）  60°、30°；  432  ；              ……………………………………………5分

（3）本题答案不唯一，以下答案供参考．城南中学教学效果好，极差、方差小于城北中学，说明城南中学学生两极分化，学生之间的差距较城北中学好．城北中学教学效果好，A、B类的频率和大于城南中学，说明城北中学学生及格率较城南中学学生好．……………7分

24．解：（1）∵点P、Q是二次函数y＝2x²＋bx＋1图象上的两点，∴此抛物线对称轴是直线x＝－1．

∵二次函数的关系式为y＝2x²＋bx＋1，∴有－＝－1．∴b＝4．………………………4分

（2）平移后抛物线的关系式为y＝2x²＋4x＋1＋k．要使平移后图象与x轴无交点，

        则有16－8(1＋k)＜0，k＞1．因为k是正整数，所以k的最小值为2．…………………8分

25．解：由AC＝1.5m，△ABC的面积为1.5m²，得BC＝2m．

如图①，设甲加工的桌面边长为xm，由DE∥CB，得＝，

即＝，解得：x＝（m）．          …………………3分

      如图②，过点C作CE⊥AB，分别交MN、AB于D、E两点，

      由AC＝1.5m，BC＝2，面积为1.5m²，得AB＝2.5，CE＝1.2

      设乙加工的桌面边长为ym，由MN∥AB，得＝，得y＝（m）． ……………7分

      因为x＞y，所以甲同学的方法符合要求．……………8分

26．解：(1)因为货车从A地出发以每小时100km的速度匀速驶往B地，

所以y₁＋100x＝b，代入点（1.8，120），得b＝300km.．

y₁＝－100x＋300…………4分

（2）见右图………………6分

轿车的速度＝150．轿车所用时间为2小时，点P表示货车从A地出发1小时后轿车从B地出发………………9分

27．解：（1）连结AD，OD．

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．………………………1分

∵△ABC是等腰三角形，∴BD＝DC．…………………2分

又∵AO＝BO，∴OD∥AC．    ………………………3分

∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．又∵D是⊙O上的点，

∴DF是⊙O的切线．         ………………………5分

（2）∵AB是⊙O的直径，∴BG⊥AC．

∵△ABC是等边三角形，∴BG是AC的垂直平分线．

∴GA＝GC．………………………7分

又∵AG∥BC，∠ACB＝60°，∴∠CAG＝∠ACB＝60°．

∴△ACG是等边三角形．∴∠AGC＝60°．………………………9分

28．（1）证明：①如图（1），当∠BAC＝90°时，

△EAG≌△BAC（SAS），∴S_△AEG=S_△ABC．   ………………2分      

②如图（2），当∠BAC＜90°时，过C作CM⊥AB，垂足为M，

过G作GN⊥AE，与AE的延长线交于点N．

∵∠GAN+∠NAC=∠GAC=90°，∠MAC+∠NAC=∠MAN=90°，

∴∠GAN=∠MAC，又AC=AG，∠AMC=∠ANG=90°．

∴△AMC≌△ANG，∴GN=CM．

又S_△AEG＝AE·GN，S_△ABC＝AB·CM，    

∴S_△AEG = S_△ABC．           ………………5分

③如图（3），当∠BAC＞90°时，

如图中辅助线，仿照⑵，同理可证．          

综合以上结论可知，命题成立．………………7分

（2）解：∵正方形ABCD、CIHG、GFED的面积分别为9m²、5m²和4m²，

        ∴DC²＝9m²，CG²＝5m²，DG²＝4m²．    ∵DC²＝CG²＋DG²，

∴三角形DCG是直角三角形，∠DGC＝90°．   ∴S_△DCG＝·DG·CG＝´2´＝m．   ∵四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，根据上面结论可得：△ADE、△FGH△、△CBI均与△DCG的面积相等，   ∴六边形ABIHFE的面积为9＋5＋4＋4´＝(18＋4) m². ………………10分